Der Merowinger bemerkt im zweiten Teil der Matrix, leicht französisch näselnd, treffend: »You see, there is only one constant, one universal, it is the only real truth: causality. Action. Reaction. Cause and effect.« In der Tat ist die Welt schwierig ohne Kausalität zu erklären, ohne Wenn-Dann, ohne »Wer A sagt, muss auch B sagen.« Andererseits sollten Sie sich vom Geschwafel des Merowingers auch nicht zu sehr einlullen lassen und Bertolt Brechts Bemerkung »Wer A sagt, der muss nicht B sagen. Er kann auch erkennen, dass A falsch war.« beachten. Wieder ist es eine der großen philosophischen Fragen, wie man Kausalität genau definieren sollte und warum es sie überhaupt gibt (dies ist übrigens eine Frage nach der Kausalität der Kausalität - ich denke, Sie sehen, warum die Philosophen diese Frage für vertrackt halten). Wieder wollen wir die Grundsatzprobleme den Philosophen überlassen und uns auf die mathematische Ebene(n) konzentrieren.
Jedoch selbst in der Mathematik steckt mehr hinter Wenn-Dann als der einfache Implikations-Junktor, den wir bis jetzt auf der syntaktischen Ebene kennengelernt haben. In diesem Kapitel geht es um die Idee des »Wenn-Dann« auf zwei neuen Ebenen: der semantischen und der Meta-Ebene.
Beginnen wir mit einem Praxisbeispiel. Beim Amt für Problemlösungen gibt es genau zwei Tage, an denen man Anliegen vorbringen darf: Montage und Freitage. Es gibt auch nur zwei Anliegen, die man vortragen darf: Probleme, die dann dann vom Amt gelöst werden, und Beschwerden, die dann vom Amt ignoriert werden. Der Leiter des Amtes, Herr Winston Wolf, hat im Foyer einige Hinweise aufgestellt, wann man sich mit welchen Anliegen an das Amt wenden kann:
(1) Um die Arbeitslast unser Sachbearbeiter gering zu halten, können an einem Freitag leider keine Beschwerden vorgebracht werden, wenn am Montag bereits eine Beschwerde vorgebracht wurde. (2) Leider ist es uns nicht möglich, am Montag sowohl eine Beschwerde wie ein Problem entgegenzunehmen. (3) Zur Verbesserung der Qualität müssen am Montag vorgebrachte Beschwerden am Freitag noch einmal vorgebracht werden, damit sie nicht verloren gehen.
In diesen Hinweisen stecken schon einige »Wenn-Dann«-Bedingungen wie »wenn die Aussage Beschwerde am Montag eingereicht wahr ist, dann auch die Aussage Beschwerde am Freitag eingereicht«, was Sie mittlerweile auch vorbildlich als Formel aufschreiben könnten, also syntaktisch kodieren könnten.
In diesem Kapitel soll es nun aber um Wenn-Dann-Bedingungen »einer Ebene höher« gehen. Hier ein Beispiel: Mit etwas Nachdenken wird man feststellen, dass immer, wenn man die Regeln einhält, dann Montag als Beschwerdetag ausscheidet. Beachten Sie, dass dies keine »Wenn-Dann«-Regel wie die anderen ist, denn hier wird keine neue Regel aufgestellt, sondern etwas über die Welten ausgesagt, in denen diese Regeln gelten. Wenn-Dann-Beziehungen, die etwas darüber aussagen, in welche Welten bestimmte Formeln gelten, werden wir semantische Folgerungen nennen, da es hier um Welten (also die Semantik) von Formeln geht.
Das Spiel kann man natürlich weitertreiben. Der nächste Schritt ist nun, eine Wenn-Dann-Beziehung zwischen semantischen Folgerungen aufzustellen oder auch zwischen semantischen und syntaktischen Folgerungen. Diese Ebene nennt man die Meta-Ebene. Und, wenig verwunderlich, es gibt natürlich auch noch eine Meta-Meta-Ebene und so weiter. Argumente auf diesen höheren Ebenen werden dann aber irgendwann ein wenig silly wie der Engländer sagen würde, weshalb wir bei der Meta-Ebene Schluss machen werden.